测绘地理信息   2017, Vol. 42 Issue (6): 65-68
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基于小波消噪的动态灰色桥墩沉降预测模型[PDF全文]
梁永平1, 严丽萍2    
1. 兰州石化职业技术学院土木工程系,甘肃 兰州,730060;
2. 兰州铁路技师学院,甘肃 兰州,730050
摘要: 桥墩由于受到自重、活荷载、地面沉降等因素的影响,其沉降量数据中白噪声明显。通过选择RMSE、NSR等评价指标来建立相应的小波基函数,结合基于小波消噪技术的动态灰色理论预测模型,以动态新信息修正模型,进而对滤波后的估计值进行补偿以提高消噪效果。结果分析表明,该模型克服了传统预测模型的缺陷,改进了滤波效果,证明了该方法的可行性及有效性。
关键词: 桥墩沉降     小波消噪     动态灰色预测模型     效果分析    
Dynamic Grey Bridge Pier Subsidence Prediction Model Based on Wavelet De-noising
LIANG Yongping1, YAN Liping2    
1. Lanzhou Petrochemical College of Vocational Technology Civil Engineering Department, Lanzhou 730060, China;
2. Lanzhou Railway Technician College, Lanzhou 730050, China
Abstract: This paper tries to set up a corresponding wavelet basis function through choosing the evaluation indexes such as RMSE, NSR and so on. Combined the dynamic grey theory prediction model, based on the wavelet de-noising technology, it corrects the model with dynamic new information, and compensates the estimation after filtering to improve the de-noising effect. Result analysis shows that the model overcomes the defect of traditional forecasting model and improves the filtering effect. It proves the feasibility and effectiveness of this method.
Key words: bridge pier subsidence     wavelet de-noising     dynamic grey prediction model     effect analysis    

近年来,随着我国大规模交通建设实施及桥梁建设技术的发展,桥梁向大跨度、新型、轻质和美观方向发展。但受到桥梁自重、活荷载、地面沉降等因素的影响,桥墩在时间、空间等方面均处于动态的变化中,为保证桥梁安全且留出充足的病害处理时间,需进行桥梁沉降观测及预测,且沉降变形观测、评估也是确定桥梁建设关键时间节点和关键工序的主要依据之一。由于桥梁在建设和运营过程中,自身处于不断变化的外界环境中,使得所获得的监测数据表现为噪声显著,变形呈现为动态非连续性变形,故对变形监测数据进行去噪处理和建立合理的预测模型,对于分析桥梁的变形规律具有很重要的意义。

桥梁变形过程随时间空间变化,可利用小波分析对变形信息进行时频分析、奇异探测、多尺度分析,提取空间变形趋势项和粗差[1]。本文以影响小波去噪效果的关键因素为评价指标来选用合适的小波函数,从受噪声干扰的序列观测数据中提取接近真实情况的特征信息,对高频噪声进行去噪处理,使数据尽可能平稳和平滑,并结合动态灰色理论进行预测,结果分析表明,此方法能较好地提高变形数据的预测精度。

1 小波消噪的动态灰色预测模型 1.1 小波消噪

小波分析是20世纪80年代中后期发展起来的新兴学科,是傅里叶分析的发展和重大突破。作为对信号的一种时间-频域分析方法,它综合了时域和频域分析方法的优点,在时频两域都有表征信号局部特征的能力,是一种窗口大小固定不变但形状可以改变的时频局部分析方法[2]

假设变形体的观测数据x(t)包括有用信号s(t)和随机噪声n(t),其模型为:

$ x(t){\rm{ = }}s(t){\rm{ + }}n(t) $ (1)

在有用信号中,既有可能是实际变形信号sd(t)或确定性噪声sn(t),也有可能是两者的混合,即

$ s(t){\rm{ = }}{s_d}(t){\rm{ + }}{s_n}(t) $ (2)

若设原始信号的分析频率为f,在尺度参数j=1, 2, 3, …, J下,应用小波包分解,其结果所对应的频带数为2j,相应的频率范围为:

$ {2^j}(i - 1)f\sim{2^{ - j}}if $ (3)

其中,i=1, 2, 3, …,2j表示分解信号的频带序列[3]。如果对频带的分解结果进行重构,则可实现该频带的信号从原信号中分离。

1.2 动态灰色预测模型

灰色系统理论是以部分信息已知、部分信息未知的小样本、贫信息不确定型系统作为研究对象。但灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程,而是看作随时间变化的灰色量或灰色过程,通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化,从而建立相应于微分方程解的模型,并做出预报。

设原始数据序列X(0)=[x(0)(1), x(0)(2), …, x(0)(M)],对X(0)做一次累加生成,得到AGO数据序列X(1)=[x(1)(1), x(1)(2), …, x(1)(M)]。其中:

$ {x^{(1)}}(k) = \sum\limits_{m = 1}^k {{x^{(0)}}(m)}\quad (k = 1,2, \cdots ,M) $ (4)

建立AGO序列X(1)白化形式的微分方程为:

$ \frac{{{\rm{d}}{X^{(1)}}}}{{{\rm{d}}t}} + a{X^{(1)}} = u $ (5)

$\mathit{\boldsymbol{\hat b}} = {(a, u)^{\rm{T}}}$ Y=[x(0)(2), x(0)(3), …, x(0)(M)]T,那么X为:

$ \mathit{\boldsymbol{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{1}{2}[{x^{(1)}}(1) + {x^{(1)}}(2)]}&1\\ { - \frac{1}{2}[{x^{(1)}}(2) + {x^{(1)}}(3)]}&1\\ \vdots & \vdots \\ { - \frac{1}{2}[{x^{(1)}}(M - 1) + {x^{(1)}}(M)]}&1 \end{array}} \right] $ (6)

运用最小二乘法求解 ${\mathit{\boldsymbol{\hat b}}}$ ,有:

$ \mathit{\boldsymbol{\hat b}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{X}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Y}} $ (7)

求出a后解白化微分方程,求出AGO序列的计算值 ${{\hat x}^{\left(1 \right)}}$ 为:

$ \begin{array}{c} {{\hat x}^{\left( 1 \right)}}\left( {k + 1} \right) = \left[ {{x^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right) - \frac{u}{a}} \right]{{\rm{e}}^{ - ak}} + \frac{u}{a}{\rm{ }}\\ {\rm{ (}}k = 1,2, \cdots ,M{\rm{)}} \end{array} $ (8)

原始数据序列中x(0)的还原值 ${{\hat x}^{\left(0 \right)}}$ [4]

$ \hat x_{k + 1}^{(0)} = \hat x_{k + 1}^{(1)} - \hat x_k^{(1)} $ (9)

若残差或相对误差满足要求,则模型建立完毕,否则要进行模型修正,甚至重选数据建模。但受到观测数据序列短、干扰成分多、不稳定因素大等因素的影响,易导致模型精度降低。上述模型是在得到k+1时刻的预测值 ${{\hat x}^{\left(1 \right)}}\left({k + 1} \right)$ 后,去掉x(0)(1),加入估计值 ${{\hat x}^{\left(0 \right)}}\left({k + 1} \right)$ ,重新生成离散数列,即

$ {{X'}^{(0)}} = [{x^{(0)}}(2),{x^{(0)}}(3), \cdots ,{x^{(0)}}(k),{{\hat x}^{(0)}}(k + 1)] $ (10)

重新建立GM(1,1)模型,再预测k+2时刻的 ${{\hat x}^{\left(0 \right)}}\left({k + 2} \right)$ ,…,如此递补来进行逐个预测的。但 ${{\hat x}^{\left(0 \right)}}\left({k + 2} \right)$ 是在灰值 ${{\hat x}^{\left(0 \right)}}\left({k + 1} \right)$ 的基础上预测的,所以 ${{\hat x}^{\left(0 \right)}}\left({k + 2} \right)$ 仍是灰的。若获得了k+1时刻的实际观测值,那么应对原GM(1,1)模型进行修正,重新建立新的离散数列,即

$ \begin{array}{c} {{X''}^{(0)}} = \\ [{x^{(0)}}(3),{x^{(0)}}(4), \cdots ,{x^{(0)}}(k + 1),{{\hat x}^{(0)}}(k + 2)] \end{array} $ (11)

然后由上面的离散数列再次建立GM(1,1)模型预测下一时刻的值[5]

此数据预测处理方法即为动态灰色理论,该方法弥补了灰色理论原始数据序列固定、噪声固定等缺点[6]。而且由于信息灰色,动态模型的数据信息是实时引入的,所以它能够不受原点误差的影响,可以实时地反映研究物体的状态变化,提高了预测精度。

2 桥墩沉降预测实例分析

现选取某铁路重点控制工程(60+100+60)m连续梁的一桥墩沉降数据进行分析[7],沉降监测数据以7天为一周期,共34期,时间跨越从施工始至合拢。

2.1 小波去噪

不同小波基函数在处理信号时各有特点,没有任何一种小波基函数可以对所有类型的信号都取得最优的去噪效果。一般来讲,db小波系和sym小波系在去噪中是经常会被用到的两族小波基。而小波基、分解层数j的选择、阈值λ的选取规则和阈值函数的设计,都是影响最终去噪效果的关键因素。现通过对影响滤波函数选择的因素进行分析,进而获得滤波函数。

选择自适应阈值、分解层数4层、软阈值,对db小波系和sym小波系的分析比较如表 1所示。

表 1 不同小波基函数所对应的精度评价指标 Table 1 Precision Evaluation Indexes of Different Wavelet Basis Functions

表 1可以看出,根据函数选择中以误差平方和(sum of squares for error, SSE)、均方根误差(root mean squared error, RMSE)趋于0,相关系数R-square趋于1,信噪比(signal-noise ratio, SNR)越大越好的评价指标,综合分析db4函数较符合条件。

为了获得好的去噪效果, 合理选择阈值非常关键。本例利用db4函数、软阈值和分解层数4层进行阈值类型的选择,如表 2所示。

表 2 不同阈值类型所对应的精度评价指标 Table 2 Precision Evaluation Indexes of Different Threshold Types

表 2可以看出,选择傅里叶3型拟合函数自适应阈值最能满足函数选择要求。在利用硬阈值处理时,函数只保留较大的小波系数,并将较小的小波系数置零,而软阈值处理则将较小的小波系数置零, 但对较大的小波系数向零做了收缩。现利用db4函数、自适应阈值和分解层数为4层进行软、硬阈值的选择如表 3所示。

表 3 不同阈值阈数所对应的精度评价指标 Table 3 Precision Evaluation Indexes of Different Threshold Functions

表 3可以看出,选择软阈值在SSE、MSE、SNR指标中均体现较高的精度,因此选择软阈值。

如果小波的分解层数太少, 就会有一部分噪声不能消除。随着尺度数的增加, 它所含有的高频信息会随之减少, 当分解到下一个层次时, 就会有更高一些的频率信息被滤掉, 降噪效果就会越来越好。但是当尺度数增加到一定程度后, 滤波后的信号几乎保持不变[7]。本例中,固定取db4函数、自适应软阈值,进行分解层数的选择,如图 1所示。

图 1 不同分解层数所对应的精度评价指标 Figure 1 Precision Evaluation Indexes of Different Decomposition Layers

根据上述分析,选取滤波函数为db4、分解层数为3层和自适应软阈值的拟合函数为傅里叶3型,对原始数据进行噪声滤波后的沉降量如表 4所示。

表 4 原始沉降量与滤波消噪后的沉降量 Table 4 Original Settlement and Settlement After Filtering De-noising

2.2 桥墩沉降预测模型分析

以观测数据的前28期数据作为建模依据,预测后6期的数据变化如表 5所示。

表 5 不同模型未消噪与消噪后预测的沉降量比较 Table 5 Settlement Comparison of Different Models Without De-noising and After De-noising

表 5中平均相对误差可看出,灰色GM(1,1)模型较双曲线模型和时间序列模型在预测精度方面表现较好,即使未消噪数据建立的模型也呈现了相对很高的精度。消噪后双曲线和时间序列模型较未消噪后的平均相对误差提高很大,但时间序列指数平滑模型由于其预测模型为线性分布,故在桥墩沉降中可以作为短期预测,而长期预测则应慎用[8]

基于小波消噪的动态灰色模型在预测准确性和精度方面要远好于未消噪的传统静态GM(1,1)模型,也好于消噪传统静态灰色模型,且相较于未消噪和消噪后的双曲线与时间序列则呈现出与实际测得值更加吻合的状态。这是因为消噪等为动态灰色模型,在预测过程中不断引入新的预测信息,在预测过程中修正了建模数据的随机干扰误差,使得样本数据更加真实。而未消噪数据建立的模型,通过比对实际测量值和预测值发现,随着时间的推移,预测精度不断降低,究其原因是基于小波滤波的灰色模型只能修正建模数据的随机干扰,无法排除预测过程中干扰因素的影响,造成数据的发散[9]。但利用灰色理论建模,由于需要的样本数据少,建模简单,故在选取实测样本时,必须要选取遵循沉降原则且可靠度高的数据,这样模型才能精确,否则容易发生较大误差。

3 结束语

本文提出的基于小波消噪的动态灰色桥墩沉降预测模型,对原始沉降变形数据进行处理前,先进行小波消噪处理。在选择小波基函数时,必须以原始未消噪数据为依据,以RMSE、SNR等评价指标为标准进行小波基、分解层数、阈值等的选择,且以不同变形数据的不同特性自适应地选择小波基[10],这样才能达到最好的去噪效果。最后,建立灰色动态组合模型进行预测,这种方法具有有效性和可靠性。

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